После окончания Ленинградского технологического института Мягков принял участие в любительском спектакле «Лесная песня», где его заметил один из преподавателей Школы-студии МХАТ. Педагог предложил Андрею Васильевичу попробовать себя в актерском мастерстве, и тот не стал отказываться. Мягков переехал в Москву, поступил в школу и встретил там Анастасию Вознесенскую. Для него это была любовь с первого взгляда.
Поначалу девушка не воспринимала Андрея всерьез — первая красавица курса не была обделена вниманием поклонников. Только спустя время Анастасия поняла, что не может представить без Мягкова свою жизнь. Он стал для нее самым близким и родным человеком. Возлюбленные поженились на втором курсе и с тех пор не расставались.
Сразу после окончания школы Вознесенскую пригласили в театр «Современник». Она согласилась, но выдвинула условие: ее мужа тоже должны взять на работу. Карьера Анастасии Валентиновны пошла в гору: после роли радистки в фильме «Майор Вихрь» она прославилась на весь Советский Союз. Мягкова тогда не знал никто. Его успехи были весьма скромными, но жене он не завидовал, наоборот, всячески ее поддерживал.
После выхода картины «Ирония судьбы, или С легким паром» Мягкова стали узнавать на улице, а поклонницы присылали письма в огромных количествах. Однако это никак не сказалось на отношениях супругов. Он любил ее, а она — его.
«Нет секрета крепкого брака. Надо любить. Надо, чтобы было искреннее желание сделать для человека что-то приятное. Надо, чтобы не виделось возможности существовать без этого человека. Вот и все, больше ничего не нужно. И тогда будет брак навсегда», — говорил Мягков.
Андрей и Анастасия словно поменялись местами — карьера Вознесенской пошла на спад, и Мягков старался ей помочь. Ему предлагали роль Нестора Петровича в «Большой перемене», но актер отказался, поскольку для его жены роли в картине не нашлось.
Супруги полностью посвятили себя работе, поэтому детей у именитой пары не было.
«Своих детей не довелось иметь именно из-за профессии. Своя жизнь как-то невольно уходит на второй план, ты о ней меньше думаешь», — объяснял Мягков.
Актеры прожили вместе 58 лет. Андрей Васильевич ушел из жизни 18 февраля 2021 года от сердечной недостаточности, и в последние минуты его жена была рядом. Анастасия Валентиновна скончалась через одиннадцать месяцев — она умерла 14 января 2022 года.
